math

ln is weird

L’autre jour, j’ai remarqué un truc bizarre à propos du logarithme.

On sait que la primitive de x^{-n} , c’est :

lnisweird001

Que l’on peut réécrire pour n<1  :

lnisweird003

et pour n>1 :

lnisweird004

Évidemment, quand n=1 , cette solution n’est plus valable, et à la place on a :

lnisweird005

Le tout résumé sur ce joli graphique pour vos yeux ébahis, avec n=.2 , n=1 et n=4 .

ébahissement en cours

Les lignes pointillées sont les primitives des lignes pleines.

D’accord, donc le logarithme est juste entre les primitives de la forme \sqrt[k]{x} et celles de la forme x^{-k} . Ce qui n’est d’ailleurs pas du tout surprenant :

lnisweird006
lnisweird007
lnisweird008a
lnisweird008b
lnisweird009

C’est à dire que quelque soit n, la primitive de x^{-n} est toujours soit au dessus soit en dessous de ln(x) . Mais ça ne veut pas dire que ces primitives tendent gentiment vers le logarithme quand n tends vers 1 , au contraire elles divergent :

Quand n tends vers 1 , les deux primitives explosent. Mais quand n=1 , la primitive est bien définie, et c’est le logarithme :

Donc on a une fonction qui diverge en un point, mais qui y est aussi définie. Vive le logarithme !

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