chimie, géométrie

VSEPR et géométries

Donner l’élément qui continue cette liste :
2
3
1-3
1-3-1
1-4-1
1-5-1
4-4

Aujourd’hui, un début de réponse à une question qui me turlupine depuis maintenant des années : comment arranger N points sur une sphère pour qu’ils soient le plus loin possible les uns des autres.

L’idée m’est venue quand j’ai appris les arcanes de la théorie VSEPR, dont l’idée initiale est que, quand plusieurs atomes sont liés à un atome central, ils s’arrangent pour être le plus éloignés les uns des autres.

Par exemple pour le dioxide de carbone O=C=O, les deux oxygènes se placent le plus loin possible l’un de l’autre, c’est à dire alignés avec le carbone central.

C=O=C

Et pour le méthane CH4, les quatre hydrogènes se placent sur les sommets d’un tétraèdre.

Methane-CRC-MW-3D-balls

Plus généralement, mes cours annonçaient ces géométries pour des molécules avec 2-6 atomes autour d’un atome central :

2
vsepr2
3
vsepr3
4
vsepr4
5
vsepr5
6
vsepr6

Je me suis tout de suite demandé d’où venaient ces triangles, tetrahèdres, et autres bipyramides à base carrées. On voit assez facilement une certaine structure dans cet enchainement de formes. Pour n=3, on a un équateur. Pour n=4, on peut presque reconnaître un pôle et l’équateur précédent. Et pour n=5 et n=6, il y a clairement deux pôles encadrant un équateur de 3 et 4 points respectivement.

Mais que se passe-t-il quand n>6 ? Dans ce qui devient rapidement un tradition ici, j’ai évidemment bricolé trois bouts de code qui placent n points au hasard sur une sphère, et les font s’éloigner le plus possible les uns des autres. Voilà ce que ça donne.

n GÉOMÉTRIE COMMENTAIRES SHÉMA
3 icon3.300

Les trois points forment un triangle, comme prévu plus haut.

schem03
4 4hedre4

Les quatre points forment un tétraèdre, aussi comme prévu plus haut.

schem04
5 5hedre4

Les cinq points forment une bipyramide à base triangulaire, encore comme prévu plus haut. Le début d’un pattern apparaît : pôle-équateur-pôle : (1-3-1).

schem05
6 6hedre4

Les six points forment une bipyramide à base carrée, toujours comme prévu plus haut. Le pattern précédent se poursuit : pôle-équateur-pôle : (1-4-1).

schem06
7 7hedre4

Cette fois les points forment une bipyramide à base pentagonale. Le pattern se poursuit : pôle-équateur-pôle : (1-5-1).

schem07
8 8hedre4

Cette fois un antiprisme carré apparaît. Le pattern change, il n’y a plus de pôles : cercle-cercle : (4-4).

schem08
9 9hedre4

Cette géométrie est similaire à la précédente, avec un pôle supplémentaire au-dessus d’une des faces carrées. Pattern : (1-4-4).

schem09
10 10hedre4

Similaire au précédent, avec encore un pôle en plus. Pattern : (1-4-4-1).

schem10
11 11hedre4

Le nouveau point s’ajoute sur un des cercles. Pattern : (1-4-5-1).

schem11
12 12hedre4

Le nouveau point s’ajoute encore sur un des cercles. Pattern : (1-5-5-1).

schem12
13 13hedre4

Le nouveau point s’ajoute encore sur un des cercles. Pattern : (1-5-6-1).

schem13
14 14hedre4

Le nouveau point s’ajoute encore sur un des cercles. Pattern : (1-6-6-1).

schem14
15 15hedre4

Cette fois le pattern change : un des pôles est ramplacé par cercle à trois points. Pattern : (1-5-6-3).

schem15
16 16hedre4

Le nouveau point s’ajoute sur un des cercles. Pattern : (1-6-6-3).

schem16
17 17hedre4

Le pattern initial réapparaît : (1-5-5-5-1).

schem17
18 18hedre4

Le nouveau point s’ajoute sur le cercle central. Pattern : (1-5-6-5-1).

schem18
19 19hedre4

Le nouveau point s’ajoute sur un des cercles les moins encombrés. Pattern : (1-5-6-6-1).

schem19
20 20hedre4

Le nouveau point s’ajoute sur le cercle le moins encombré. Pattern : (1-6-6-6-1).

schem20

Il y a plein de choses intéressantes qui se passent. D’abord, il y a le pattern le plus courant : deux pôles qui enserrent des cercles parallèles contenant chacun à peu près le même nombre de points. Chaque nouveau point s’ajoute dur le cercle le moins encombré. Ce pattern est très bien respecté pour n=5-7,10-14 et 17-20.

Le problème vient évidemment des frontières entre ces zones régulières, qui correspondent aux transitions entre une géométrie à m cercles et une géométrie à m+1 cercles. Et ces transitions sont nettement plus imprévisibles. Pour passer de n=7 (deux pôles + un cercle) à n=10 (deux pôles + deux cercle), d’abord les pôles disparaissent au profit d’un cercle supplémentaire (n=8), puis les deux pôles réapparaissent successivement (n=9,10). Par contre, pour passer de n=14 (deux pôles + deux cercle) à n=17 (deux pôles + trois cercle), d’abord un seul pôle disparait au profit d’un petit triangle (n=15), puis les deux cercles internes continuent de s’étoffer (n=16) et enfin le triangle disparait pour relaisser la place à un pôle avec trois cerlces cette fois (n=17).

Évidemment, toutes ces observations sont à prendre avec du recul. Premièrement mon algorithme pour trouver les géométries est peut-être à la rue. Ça me parrait peu probable, d’abord parce que les premières géométries correspondent aux géométries de la théorie VSEPR. Ensuite parce que majoritairement des pattern prévisibles et des géométries pleines de symétries, l’icosaèdre pour n=12. Surtout, j’ai implémenté un truc tout simple qui greedy-minimise des forces répulsives en 1/r^2, je vois pas bien ce qui peut mal se passer. Mais bon on sait jamais.
Ensuite les découpages que j’ai fait en pôles, cercles, etc. sont assez arbitraires et certaines géométries étaient suffisamment ambiguës pour me faire hésiter, notamment pour les n=15-17.

Il serait intéressant de continuer avec de plus en plus de points, mais ça devient vite fastidieux. Par exemple, pour n=21-22-23, le pattern continue en (1-6-7-6-1),(1-6-8-6-1),(1-6-7-7-2), mais j’ai peu confiance dans ces résultats, puisque je continue à les classifier à l’oeil et les symmétries deviennent de plus en plus imprécises. Au-delà, je ne discerne plus de pattern, mais je m’abstient d’en tirer une conclusion.

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